Single-period Binomial Framework
在学习金融的同学分享一个期权交易的问题后，对金融领域交易知识有了初步了解，很感兴趣，才有了这篇文章。
任何可交易资产达成一致的准确定价是很具有挑战性的，这也是为什么股票价格不断变化的原因。事实上，公司几乎不会每天改变他们的valuations，但他们的股价和valuations几乎每秒都在变化。（valuations是确定资产或公司当前（或预计）价值的分析过程）。因为就任何可交易资产的正确定价很难达成共识，这导致了短暂的套利机会。
但很多成功的投资都归结为一个简单的当前估值问题——对于预期的未来回报，今天的正确current price是多少？
二项式期权定价模型使用迭代方法对期权进行估值，该方法利用多个时期对美式期权进行估值。
对于该模型，每次迭代都有两种可能的结果——按照二叉树向上移动或向下移动。
该模型直观，在实践中比著名的 Black-Scholes 模型更常用。
Binomial Options Valuation
在竞争市场中，为了避免套利机会，具有相同收益结构的资产必须具有相同的价格。期权估值一直是一项具有挑战性的任务，定价变化会带来套利机会。 Black-Scholes 模型仍然是最流行的期权定价模型之一，但也有局限性。二项式期权定价模型是另一种流行的期权定价方法。
Examples
假设当前市场价格为 100 美元的Tesla股票有看涨期权。平值 (ATM) 期权的行权价为 100 美元，到期时间为一年。有两个交易员，A和B，他们都同意股票价格在一年内要么涨到 110 美元，要么跌到 90 美元。
虽然给定的一年时间范围内的预期价格区间他们的意见一致，但是在股票上涨或下跌的概率上，他们意见不一致。A认为股票价格升至 $110 或者下跌至$90的概率为 60%，而B认为是 40%。
基于此，谁愿意为看涨期权支付更高的价格？可能是A，因为他预计上涨的可能性很大。
Binomial Options Calculations
估值所依赖的两种资产是看涨期权和正股。参与者之间达成协议，基础股票价格可以在一年内从当前的 100 美元涨到 110 美元或 90 美元，并且没有其他可能的价格变动。
在无套利的世界中，如果必须创建一个由这两种资产组成的投资组合：看涨期权和正股，那么无论正股价格涨跌（110 美元或 90 美元），投资组合的净回报始终保持不变。假设买入股数为d的Tesla正股，并卖出 1 股看涨期权（short 1 call）来创建这个投资组合。
如果价格涨到 110 美元，股票价值将达到 $110 * d，而将在这个 short call中损失10刀。投资组合的净值为 (110d - 10)。
如果价格跌至 90 美元，股票将价值 $90 * d，期权将毫无价值地到期。投资组合的净值为 (90d)。
如果希望投资组合的价值无论正股价格如何变化都保持不变，那么投资组合价值在任何一种情况下都应保持不变：
$h(d−m)=l(d)$
h = Highest potential underlying price
d = Number of underlying shares
m = Money lost on short call payoff
l = Lowest potential underlying price
因此，如果购买半股，假设可以进行部分购买，可以设法创建一个投资组合，使其在一年的给定时间范围内在两种可能的状态下的价值保持不变。
$110d−10=90d$
$d=1/2$
这个投资组合价值，由 (90d) 或 (110d - 10) = 45 表示，是一年后的。计算其PV时，可按无风险收益率（假设5%）进行折现。
$PresentValue = 90d × e^x = 45×0.9523 = 42.85$
x = -5% × 1 Year
由于目前，投资组合由 1/2 的股票（市场价格为 100 美元）和一个short call（卖出看涨期权）组成，因此它应该等于现值。
$1/2×100-1×CallPrice = 42.85$
$CallPrice = 7.14, i.e.the callpriceoftoday$
由于这是基于这样的假设：即无论正股价格走向何方，投资组合价值都保持不变，因此上涨或下跌的概率不起任何作用。无论正股价格如何变动，投资组合都保持无风险。
在这两种情况下（假设上涨至 110 美元，下跌至 90 美元），投资组合对风险保持中性并获得无风险回报率。
因此，交易员 A 和 B 都愿意为这个看涨期权支付同样的 7.14 美元，尽管他们对上涨概率（60% 和 40%）的看法不同。他们个人感知的概率在期权估值中无关紧要。
相反，假设个体概率很重要，套利机会可能已经出现。在现实世界中，这种套利机会存在于微小的价格差异中，并在短期内消失。
但是，在所有这些计算中被大肆宣传的波动率Volatility（影响期权定价的一个重要且敏感的因素）在哪里呢？波动性已经包含在问题定义的性质中。假设有两个（而且只有两个——因此得名binomial）价格水平状态（110 美元和 90 美元），波动率隐含在这个假设中并自动包含在内（在本例中为 10%）。
Reference
Arbitrage: How Arbitraging Works in Investing, With Examples
Understanding the Binomial Option Pricing Model
What Is a Short Call in Options Trading, and How Does It Work?
What are Options? Types, Spreads, Example, and Risk Metrics
Risk/Reward Ratio: What It Is, How Stock Investors Use It